Question

试用单调性的定义讨论函数y=x+

1

x

的单调区间，并画出该函数草图．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数图象的作法

专题：函数的性质及应用

分析：先确定函数的定义域：{x|x≠0}，在（-∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别讨论．任取x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，取x₁、x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，从而得出函数的单调区间．

解答： 解：∵定义域：{x|x≠0}，
∴在（-∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别讨论．
任取x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）
=x₂+

1

x2

-x₁-

1

x1

=（x₂-x₁）+

x1-x2

x1x2

=（x₂-x₁）（1-

1

x1x2

），
要确定此式的正负只要确定1-

1

x1x2

的正负即可．
（1）当x₁、x₂∈（0，1）时，1-

1

x1x2

＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，为减函数，
（2）当x₁、x₂∈（1，+∞）时，1-

1

x1x2

＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，为增函数．
同理可求（3）当x₁、x₂∈（-1，0）时，为减函数；
（4）当x₁、x₂∈（-∞，-1）时，为增函数．
画出函数y=x+

1

x

的图象，如图示：
．

点评：本题考查了函数的单调性的定义，考查函数的图象，是一道基础题．