Question

19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）求证：sin3B=3sinB-4sin³B；
（2）若A=2B，b=3c，求sin（B-$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）把sin3B=sin（2B+B）利用和与差打开，结合二倍角公式即可证明；
（2）由A=2B，b=3c，利用正弦定理求出sinB，和cosB，和与差的公式打开sin（B-$\frac{π}{3}$）可得值．

解答 解：（1）证明：sin3B=sin（2B+B）=sin2BcosB+cos2BsinB
=2sinBcosBcosB+（1-2sin²B）sinB=2sinBcos²B+sinB-2sin³B
=2sinB（1-sin²B）+sinB-2sin³B=3sinB-4sin³B
即sin3B=3sinB-4sin³B．
得证．
（2）∵b=3c，
正弦定理$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∴sinB=3sinC．
∵A=2B∴C=π-3B，
∴sinC=sin3B
∴sinB=3sin3B=9sinB-12sin³B
∵sinB＞0，
∴$sinB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∵A＞B，∴$0＜B＜\frac{π}{2}$，
∴$cosB=\sqrt{1-{{sin}^2}B}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
∴$sin（{B-\frac{π}{3}}）$=$sinBcos\frac{π}{3}-cosBsin\frac{π}{3}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}×\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{6}-3}}{6}$．

点评 本题考查了三角函数的化简能力和计算能力．属于中档题．