Question

10．对任意正数x，y，不等式$\frac{x}{3x+y}+\frac{3y}{x+3y}≤k$恒成立，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{5}{4}，+∞}）$
• B． $[{\frac{{6-\sqrt{3}}}{4}，+∞}）$
• C． [1，+∞）
• D． $[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 令m=3x+y，n=x+3y，$\frac{x}{3x+y}$可化为$\frac{3}{8}$+$\frac{9}{8}$-$\frac{1}{8}$（$\frac{n}{m}$+$\frac{3m}{n}$）利用基本不等式求出其最大值，可得实数k的取值范围．

解答 解：令m=3x+y，n=x+3y
则x=$\frac{3m-n}{8}$，y=$\frac{3n-m}{8}$
则$\frac{x}{3x+y}+\frac{3y}{x+3y}=\frac{\frac{3m-n}{8}}{m}+\frac{\frac{9n-3m}{8}}{n}$=$\frac{3}{8}+\frac{9}{8}-\frac{1}{8}（\frac{n}{m}+\frac{3m}{n}）≤\frac{6-\sqrt{3}}{4}$
若$\frac{x}{3x+y}+\frac{3y}{x+3y}≤k$恒成立
则k≥$\frac{6-\sqrt{3}}{4}$即实数k的取值范围是[$\frac{6-\sqrt{3}}{4}，+∞$）
故选B

点评 本题考查的知识点函数恒成立问题，基本不等式，其中利用基本不等式求出$\frac{x}{3x+y}+\frac{3y}{x+3y}$的最大值是解答的关键，属于中档题型．