Question

5．设f（x）=e^x（-x²+x+1），
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当θ∈[0，$\frac{π}{2}$]时，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，从而求出函数的单调区间；（2）根据函数的单调性，得到f（x）_max，f（x）_min的值，结合θ的范围，从而得到答案．

解答 解：（1）∵f′（x）=e^x（-x²-x+2）=-e^x（x+2）（x-1），
故当x∈（-∞，-2）∪（1，+∞）时，f′（x）＜0；当x∈（-2，1）时，f′（x）＞0，
从而f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上单调递减，在（-2，1）上单调递增．
（2）由（1）知f（x）在[0，1]上单调递增，故f（x）在[0，1]上
f（x）_max=f（1）=e，f（x）_min=f（0）=1，
从而对任意x₁，x₂有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1＜2，
而当θ∈[0，$\frac{π}{2}$]时，cosθ，sinθ∈[0，1]，从而|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

点评 本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，考察导数的应用，本题是一道中档题．