Question

20．已知A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，且4acosA=bcocC+ccosB．
（1）求cosA的值；
（2）若sin（A-B）=sin（B-C），求sinC．

Answer 1

分析 （1）ccosB+bcosC=4acosA，利用正弦定理可得：sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosA，再利用两角和差的正弦公式、诱导公式、三角函数的内角和定理即可得出．
（2）由和差化积化简已知可得2cos$\frac{A-C}{2}$sin$\frac{π-3B}{2}$=0，结合角的范围可得sin$\frac{π-3B}{2}$=0．解得B=$\frac{π}{3}$，由两角和与差的正弦函数公式即可得解．

解答 解：（1）∵ccosB+bcosC=4acosA，
∴sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosA，
∴sin（B+C）=sinA=4sinAcosA，
∵sinA≠0，
∴cosA=$\frac{1}{4}$．
（2）∵sin（A-B）-sin（B-C）=2cos$\frac{A-C}{2}$sin$\frac{π-3B}{2}$=0，
∵0＜A$＜\frac{π}{2}$，0＜B＜π，0＜C＜π，可得：-$\frac{π}{2}$＜$\frac{A-C}{2}$＜$\frac{π}{4}$，-π＜$\frac{π-3B}{2}$＜$\frac{π}{2}$，
∴cos$\frac{A-C}{2}$≠0，可得sin$\frac{π-3B}{2}$=0．
∴$\frac{π-3B}{2}$=0，解得：B=$\frac{π}{3}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=$\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、诱导公式、两角和与差的正弦函数公式、三角函数的内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．