Question

11．已知f（x）=sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$），则f（1）+f（2）+…+f（2008）+f（2009）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再根据f（x）的周期性求得所给式子的值．

解答 解：f（x）=sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）=2sin[（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=sin$\frac{π}{4}$x，
它的周期为$\frac{2π}{\frac{π}{4}}$=8，f（1）+f（2）+…+f（8）=0，
∴f（1）+f（2）+…+f（2009）=251×[f（1）+f（2）+…+f（8）]+f（2009）
=0+f（1）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，利用函数的周期性求式子的值．