Question

1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且A=$\frac{π}{6}$．现给出三个条件：①a=2；  ②B=45°；
③c=$\sqrt{3}$b．试从中选出两个可以确定△ABC的条件，并以此为依据求△ABC的面积．（只需写出一个选定方案即可）你选择的条件是①②；（用序号填写）由此得到的△ABC的面积为$\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 根据条件和正弦、余弦定理选择方案，分别利用正弦、余弦定理求出三角形的边或角，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：（1）①a=2；  ②B=45°可以确定三角形，
由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，则b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{2}$，
又C=180°-A-B=105°，则sinC=sin（45°+60°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}）$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=$\sqrt{3}+1$；
（2）①a=2，③c=$\sqrt{3}$b可以确定三角形，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
则4=${b}^{2}+{3b}^{2}-2\sqrt{3}{b}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得b=2，
则c=2$\sqrt{3}$，即△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：①②或①③；$\sqrt{3}+1$或$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式的应用，属于中档题．