Question

13．某单位组织职工开展构建绿色家园活动，在今年3月份参加义务植树活动的职工中，随机抽取M名职工为样本，得到这些职工植树的株数，根据此数据作出了频数与频率统计表和频率分布直方图如图：
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）单位决定对参加植树的职工进行表彰，对植树株数在[25，30）区间的职工发放价值800元的奖品，对植树株数在[20，25）区间的职工发放价值600元的奖品，对植树株数在[15，20）区间的职工发放价值400元的奖品，对植树株数在[10，15）区间的职工发放价值200元的奖品，在所取样本中，任意取出2人，并设X为此二人所获得奖品价值之差的绝对值，求X的分布列与数学期望E（X）．

分组	频数	频率
[10，15）	5	0.25
[15，20）	12	n
[20，25）	m	p
[25，30）	1	0.05
合计	M	1

Answer 1

分析 （1）读频率分布直方图得出各自对应的值．
（2）求出随机变量X的所有可能取值和各自的概率从而得出分布列．

解答 解：（1）由题可知$\frac{5}{M}=0.25$，$\frac{12}{M}=n$，$\frac{m}{M}=p$，
又5+12+m+1=M，解得M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
则[15，20）组的频率与组距之比a为0.12．…（5分）
（2）所取出两所获品价值之差的绝对值可能为0元、200元、400元、600元，则
$P（x=0）=\frac{{C}_{5}^{2}+{C}_{12}^{2}+{C}_{2}^{2}}{{C}_{20}^{2}}=\frac{10+66+1}{190}=\frac{77}{190}$，
P（x=200）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{12}^{1}+{C}_{12}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{20}^{2}}=\frac{86}{190}$，
P（x=400）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{1}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{2}}=\frac{22}{190}$，
P（x=600）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{20}^{2}}=\frac{5}{190}$…（9分）
所以X的分布列为：

X	0	200	400	600
P	$\frac{77}{190}$	$\frac{86}{190}$	$\frac{22}{190}$	$\frac{5}{190}$

EX=$0×\frac{77}{190}+200×\frac{86}{190}+400×\frac{22}{190}+600×\frac{5}{190}$=$\frac{2900}{19}$…（12分）

点评 本题考查的是频率分布直方图和离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题，高考常考题型．