Question

18．在极坐标系中，设圆C₁：ρ=4cosθ 与直线l：θ=$\frac{π}{4}$ （ρ∈R）交于A，B两点．
（Ⅰ）求以AB为直径的圆C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）在圆C₁任取一点M，在圆C₂上任取一点N，求|MN|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 圆C₁：ρ=4cosθ 化为ρ²=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可得出圆C₁的直角坐标方程．由直线l：θ=$\frac{π}{4}$ （ρ∈R）可得直线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$，又经过原点，即可得出直角坐标方程．联立解得A，B坐标，即可得出圆的方程．再将其化为极坐标方程即可．
（II）利用|MN|_max=|C₁C₂|+r₁+r₂即可得出．

解答 解：（Ⅰ） 以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意得
圆C₁：ρ=4cosθ 化为ρ²=4ρcosθ，∴圆C₁的直角坐标方程 x²+y²-4x=0．
直线l的直角坐标方程 y=x．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4x=0}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}$或 $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}$．
∴A（0，0），B（2，2）．
从而圆C₂的直角坐标方程为（x-1）²+（y-1）²=2，即x²+y²=2x+2y．
将其化为极坐标方程为：ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ．
（Ⅱ）∵${C_1}（2，0），{r_1}=2，{C_2}（1，1），{r_2}=\sqrt{2}$，
∴|MN|_max=|C₁C₂|+r₁+r₂=$\sqrt{2}$+2+$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$+2．

点评 本题考查了参数方程化为直角坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程互化、两圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．