Question

3．△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，且C=2A，tanA=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，a+c=5．
（1）求cosA及sinA的值．
（2）求b的长度．

Answer 1

分析 （1）根据同角三角函数基本关系求得sinA和cosA的值．
（2）根据正弦定理求得a和c的关系式，进而根据已知条件求得a和c，最后利用余弦定理求得b．

解答 解：（1）∵tanA=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，cosA=$\frac{3}{4}$
（2）由正弦定理得$\frac{a}{c}$=$\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{sinA}{sin2A}$=$\frac{sinA}{2sinAcosA}$=$\frac{1}{2}$$\frac{1}{cosA}$=$\frac{2}{3}$，
∴2c=3a，①
∵a+c=5．②
求得a=2，c=3
cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+9-4}{6b}$=$\frac{3}{4}$，
求得b=2或$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对基础公式的灵活运用．