Question

12．在等比数列{a_n}中，其前n项和为S_n，已知a₃=$\frac{3}{2}$，S₃=$\frac{9}{2}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S_n-S_n+2=$\frac{3}{32}$成立，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）假设存在正整数n，使得S_n-S_n+2=$\frac{3}{32}$成立，分别讨论①当${a_1}=\frac{3}{2}，q=1$时，②当${a_1}=6，q=-\frac{1}{2}$时，由S_n-S_n+2=$\frac{3}{32}$解方程即可得到n=5．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，
依题意，有${a_1}{q^2}=\frac{3}{2}$，${a_1}+{a_1}q+{a_1}{q^2}=\frac{9}{2}$，
解得 ${a_1}=\frac{3}{2}，q=1$或${a_1}=6，q=-\frac{1}{2}$，
故数列{a_n}的通项公式为${a_n}=\frac{3}{2}$或${a_n}=6•{（{-\frac{1}{2}}）^{n-1}}$；
（Ⅱ）假设存在正整数n，使得S_n-S_n+2=$\frac{3}{32}$成立，
①当${a_1}=\frac{3}{2}，q=1$时，由S_n-S_n+2=$\frac{3}{32}$
$⇒\frac{3}{2}n-\frac{3}{2}（n+2）=\frac{3}{32}$，无解；                                                
②当${a_1}=6，q=-\frac{1}{2}$时，${S_n}=4[{1-{{（-\frac{1}{2}）}^n}}]$，
由S_n-S_n+2=$\frac{3}{32}$
$⇒{（-\frac{1}{2}）^n}=-\frac{1}{32}⇒n=5$，
综合①②知，存在正整数n=5，使得S_n-S_n+2=$\frac{3}{32}$成立．

点评 本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查存在性问题，考查运算能力，属于中档题．