Question

2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin（A+$\frac{π}{6}$）+2cos（B+C）=0，
（1）求A的大小；   
（2）若a=6，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两角和公式和诱导公式对原等式整理可求得tanA的值，进而取得A．
（2）根据正弦定理表示出b和c，求得b+c的表达式，化简整理，根据正弦函数的性质求得其最大值，结合两边之和大于第三边求得范围．

解答 解：（1）由条件结合诱导公式得，sinAcos$\frac{π}{6}$+cosAsin$\frac{π}{6}$=2cosA，
整理得sinA=$\sqrt{3}$cosA，
∵cosA≠0，
∴tanA=$\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）由正弦定理得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{6}{{sin\frac{π}{3}}}=4\sqrt{3}$，
∴$b=4\sqrt{3}sinB$，$c=4\sqrt{3}sinC$，
∴$b+c=4\sqrt{3}（sinB+sinC）=4\sqrt{3}[{sinB+sin（\frac{2π}{3}-B）}]$=$4\sqrt{3}（{\frac{3}{2}sinB+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB}）=12（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinB+\frac{1}{2}cosB}）$=$12sin（{B+\frac{π}{6}}）$，
∵$\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$6＜12sin（{B+\frac{π}{6}}）≤12$，即6＜b+c≤12（当且仅当B=$\frac{π}{3}$时，等号成立）

点评 本题主要考查了正弦定理的运用，两角和公式的运用．考查了学生综合运用知识的能力和一定的运算能力．