Question

11．数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．
（Ⅲ）设c∈[3，6]，在（2）的条件下，设g（n）=T_n-cn，求g（n）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用数列的通项和求和的关系，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_n}的公差为d，运用等差数列的通项和等比数列的性质，解方程可得d=2，再由等差数列的求和公式，即可得到所求；
（Ⅲ）运用二次函数的对称轴和c∈[3，6]，对c讨论，结合数列的单调性，即可得到所求最小值．

解答 解：（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n（n≥2）
又a₂=2S₁+1=3，∴a₂=3a₁
故{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．
∴${a_n}={3^{n-1}}$；
（Ⅱ）设{b_n}的公差为d，
由T₃=15得，可得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，
故可设b₁=5-d，b₃=5+d，
又a₁=1，a₂=3，a₃=9，
由题意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²
解得d₁=2，d₂=-10，
∵等差数列{b_n}的各项为正，∴d＞0，
∴d=2，b₁=3，
∴${T_n}=3n+\frac{{n（{n-1}）}}{2}×2={n^2}+2n$；
（Ⅲ）由已知得：g（n）=n²+2n-cn，对称轴$x=\frac{c-2}{2}$，
c∈[3，6]，∴$\frac{c-2}{2}∈[{\frac{1}{2}，2}]$，
①若c∈[3，5），则$\frac{c-2}{2}＜\frac{3}{2}$，此时g（n）最小值为g（1）=3-c；
②若c=5，此时g（n）最小值为g（1）=g（2）=-2；
③若c∈（5，6]，此时g（n）最小值为g（2）=8-2c．

点评 本题考查等比数列和等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查数列的通项和求和的关系，以及数列的单调性的运用：求最值，属于中档题．