Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+a_n=4，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知b_n=2n-17（n∈N^*），记c_n=log₂a_n-b_n．求数列{c_n}的前n项和T_n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过递推关系式直接求出a₁，利用S_n+a_n=4，S_n-1+a_n-1=4，两式相减得，2a_n=a_n-1，说明数列{a_n}是以2为首项，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，求出通项公式．
（Ⅱ）化简c_n=log₂a_n-b_n=19-3n，判断数列{c_n}是等差数列，且公差d＜0，{c_n}的前n项和T_n最大值是它的所有正项数之和，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）a₁+a₁=4，所以a₁=2…（1分）
由S_n+a_n=4得n≥2时，S_n-1+a_n-1=4…（2分）
两式相减得，2a_n=a_n-1，$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{2}$，…（3分）
数列{a_n}是以2为首项，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
所以${a_n}={2^{2-n}}$（n∈N^*）…（5分）
（Ⅱ）由题，c_n=log₂a_n-b_n=19-3n…（6分）
在{c_n}中，c_n-c_n-1=-3，所以数列{c_n}是等差数列，且公差d＜0…（7分）
所以{c_n}的前n项和T_n最大值是它的所有正项数之和．…（9分）
${c_n}≥0，即19-3n≥0，得n≤\frac{19}{3}$…（10分）
所以n=6时取得最大值．…（11分）
即（S_n）_max=S₆=51…（12分）

点评 本题考查递推关系式的应用，数列求和以及等差数列等比数列的判断，考查计算能力．