Question

14．一条铁路原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了m（m＞1）个车站，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现有多少个车站？

Answer 1

分析 由排列知识，可得${A}_{n+m}^{2}$-${A}_{n}^{2}$=62，从而得出n=$\frac{31}{m}$-$\frac{1}{2}$（m-1），1＜m＜$\frac{1+\sqrt{249}}{2}$，1＜m≤8，验证即可得出结论．

解答 解：∵原有车站n个，
∴原有客运车票${A}_{n}^{2}$种，
又现有（n+m）个车站，现有客运车票${A}_{n+m}^{2}$种，
∴${A}_{n+m}^{2}$-${A}_{n}^{2}$=62，
∴（n+m）（n+m-1）-n（n-1）=62，
∴n=$\frac{31}{m}$-$\frac{1}{2}$（m-1）＞0，
∴m²-m-62＜0，
又m＞1，从而得出1＜m＜$\frac{1+\sqrt{249}}{2}$，
∴1＜m≤8，
即m=2时，n=$\frac{31}{2}-\frac{2-1}{2}$=15，
当m=3、4、5、6、7、8时，n均不为整数，
故只有n=15，m=2，
即原有15个车站，现有17个车站．

点评 本题考查排列知识的运用，考查学生的计算能力，确定n=$\frac{31}{m}$-$\frac{1}{2}$（m-1），1＜m＜$\frac{1+\sqrt{249}}{2}$是关键．