Question

【题目】已知点为坐标原点，椭圆 的左、右焦点分别为，，通径长（即过焦点且垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的弦长）为3，短半轴长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过点的直线与椭圆相交于，两点，线段上存在一点到，两边的距离相等，若，间直线的斜率是否存在？若存在，求直线的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】

（1）由短半轴长为可得 ，由通径长为3，可得，求出得，从而可得结果；（2）先证明，讨论斜率不存在时不合题意，斜率存在时，可设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，利用平面向量数量积的坐标表示以及韦达定理可得到，从而可得结果.

（1）因为短半轴长为，所以.

设椭圆 的半焦距为.

由题意，得，解得.

由通径长为3，得，即，解得.

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）得，椭圆的标准方程为.

因为点到，两边的距离相等，

所以由角平分线定理，得是的角平分线.

由，得，即，则.

所以，所以.

易知左，右焦点，的坐标分别为，，

当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为.设点，.

联立，得，

则恒成立.

所以，.

又 ，

所以.

所以，化简得，

所以，解得 ；

当直线的斜率不存在时，点，，，，

则，不符合题意，所以舍去.

综上，直线的斜率存在，且直线的斜率的取值范围是.