Question

已知椭圆

x2

16

+

y2

4

=1，求过Q（8，2）的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程，并求方程中x的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出直线与椭圆的两个交点A，B的坐标及AB的中点的坐标，利用点差法结合直线斜率得到AB中点所满足的函数关系式．

解答： 解：设直线l交椭圆与A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，AB的中点为（x₀，y₀），
则

x 2 1

16

+

y 2 1

4

=1，

x 2 2

16

+

y 2 2

4

=1
作差得：

(x1-x2)(x1+x2)

16

+

(y1-y2)(y1+y2)

4

=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=-

x0

4y0

，
即

y0-2

x0-8

=-

x0

4y0

，整理得：

(x0-4)2

20

+

(y0-1)2

5

=1，
∴弦的中点的轨迹方程为

(x-4)2

20

+

(y-1)2

5

=1．
∵

(x-4)2≤20 x2≤16

∴方程中x的取值范围4-2

5

≤x≤4．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，训练了点差法，是中档题．