Question

1．已知数列{a_n}为单调递减的等差数列，a₁+a₂+a₃=21，且a₁-1，a₂-3，a₃-3成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前项n和T_n．

Answer 1

分析 （1）由条件a₁-1，a₂-3，a₃-3成等比数列，可得$（{a}_{2}-3）^{2}=（{a}_{1}-1）（{a}_{3}-3）$，又因为a₁+a₂+a₃=21，a₁+a₃=2a₂，解得a₁和d，即可求出通项公式；
（2）b_n=|a_n|=$\left\{\begin{array}{l}{11-2n，n≤5}\\{2n-11，n≥6}\end{array}\right.$，分类讨论再利用等差数列的前n项和公式即可得T_n．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，由a₁+a₂+a₃=21得a₂=7，
∴a₁=7-d，a₃=7+d，
∵a₁-1，a₂-3，a₃-3成等比数列，
∴${（{a_2}-3）^2}=（{a_1}-1）（{a_3}-3）$，即4²=（6-d）（4+d），
解得d₁=4（舍），d₂=-2，
∴a_n=a₂+（n-2）d=7+（n-2）•（-2）=-2n+11．
（2）${b_n}=|{a_n}|=|11-2n|=\left\{\begin{array}{l}11-2n，n≤5\\ 2n-11，n≥6\end{array}\right.$，
设数列{a_n}的前项n和为S_n，则${S_n}=-{n^2}+10n$．
当n≤5时，${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}={S_n}=-{n^2}+10n$．
当n≥6时，T_n=b₁+b₂+…+b_n=a₁+a₂+…+a₅-（a₆+a₇+…+a_n）
=$-{S_n}+2{S_5}={n^2}-10n+2（-{5^2}+10×5）={n^2}-10n+50$．
∴${T_n}=\left\{\begin{array}{l}-{n^2}+10n，n≤5\\{n^2}-10n+50，n≥6\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、绝对值数列，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．