Question

某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P_k(x_k,y_k)处，其中x₁=1,y₁=1,当k≥2时，　　　　

       

T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T(2.6)=2,T(0.2)=0.

按此方案，第6棵树种植点的坐标应为　　　；第2008棵树种植点的坐标应为　　。

Answer 1

（1，2）   （3，402）. 解析: (1)当k≥2时,由条件可得,

则有

上式累加可得x₆=x₁=1.上式累加,可得y₆=y₁+1=2.

∴第6棵树种植点的坐标为(1,2).

(2)由上述(1)可发现:

x₇-x₆=1-5(1-1)=1,x₈-x₇=1-5(1-1)=1,

x₉-x₈=1-5(1-1)=1,

∵1-1=0,

x₁₁-x₁₀=1-5(2-1)=-4,…

由此可见x_k-x_k-1的值是1,1,1,1,-4呈周期规律出现,其中周期为5.

同样地,y_k-y_k-1为0,0,0,0,1也呈周期规律出现,其周期也为5.

当k=2 008时,

那么累加可得x_{2 008}-x₁=(T［］)·(1+1+1+1-4)+1+1=2.

y_{2 008}-y₁=(T［］)·(0+0+0+0+1)=401.

∴(x_{2 008},y_{2 008})=(3,402).