Question

12．若（ax+$\frac{1}{x}$）（2x+$\frac{1}{x}$）⁵展开式中的常数项为-40，则a=-3．

Answer 1

分析 根据题意，（ax+$\frac{1}{x}$）（2x+$\frac{1}{x}$）⁵展开式中的常数项，是（2x+$\frac{1}{x}$）⁵的展开式中$\frac{1}{x}$项的系数与ax的系数之积，
再加上x项的系数与$\frac{1}{x}$的系数的积，利用（2x+$\frac{1}{x}$）⁵展开式的通项公式，求出展开式中含$\frac{1}{x}$与x项的系数，列出方程求出a的值．

解答 解：（ax+$\frac{1}{x}$）（2x+$\frac{1}{x}$）⁵展开式中的常数项，
是（2x+$\frac{1}{x}$）⁵的展开式中$\frac{1}{x}$项的系数与ax的系数之积，
再加上x项的系数与$\frac{1}{x}$的系数的积；
又（2x+$\frac{1}{x}$）⁵展开式的通项公式为：
T_r+1=${C}_{5}^{r}$•（2x）^5-r•${（\frac{1}{x}）}^{r}$=2^5-r•${C}_{5}^{r}$•x^5-2r，
令5-2r=-1，解得r=3，
∴T₃₊₁=2²•${C}_{5}^{3}$•$\frac{1}{x}$=40•$\frac{1}{x}$；
令5-2r=1，解得r=2，
∴T₂₊₁=2³•${C}_{5}^{2}$•x=80•x；
∴展开式中的常数项为：
40a+80=-40，
解得a=-3．
故答案为：-3．

点评 本题考查了二项式系数性质的应用问题，熟练掌握二次项系数的性质是解题的关键．