Question

设函数f（x）=

x

x+2

（x＞0），且f₁（x）=f（x）=

x

x+2

，当n∈N^*且n≥2时，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，则f₃（x）=

 

，猜想f_n（x）（n∈N^*）的表达式为

 

．

Answer 1

考点：归纳推理,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,推理和证明

分析：由题意依次求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x）的表达式，利用规律性猜想出f_n（x）（n∈N^*）的表达式．

解答： 解：因为f₁（x）=f（x）=

x

x+2

，当n≥2时，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，
所以f₂（x）=f[f₁（x）]=

x x+2

x x+2 +2

=

x

3x+4

，
f₃（x）=f[f₂（x）]=

x 3x+4

x 3x+4 +2

=

x

7x+8

，
f₄（x）=f[f₃（x）]=

x 7x+8

x 7x+8 +2

=

x

15x+16

，
由以上的式子猜想f_n（x）=

x

(2n-1)x+2n

，
故答案为：

x

7x+8

；f_n（x）=

x

(2n-1)x+2n

（n∈N^*）．

点评：本题考查归纳推理，函数解析式的求解，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．