Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+2

是奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式恒成立f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数定义，在f（-x）=-f（x）中的运用特殊值求ab的值；
（2）由（1）知f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，课确定函数f（x）的单调性；
（3）由（2）结合奇函数的性质把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．

解答： 解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即

-1+b

2+2

=0，∴b=1
经检验b=1时，f（x）=

-2x+1

2x+1+2

是奇函数．
（2）由（1）知f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（3）又因为f（x）是奇函数，
所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即对一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
从而判别式△=4+12k＜0，所以k＜-

1

3

．
所以k的取值范围是k＜-

1

3

．

点评：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．