Question

已知函数f（x）=-x²+ax-lnx（a∈R）．
（I）当a=3时，求函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）函数f（x）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=3代入到f（x）中，求出导函数=0时x的值为1得到函数的最大值为f（1），然后判断f（

1

2

）和f（2）即可；
（Ⅱ）若f（x）既有极大值又有极小值，首先必须f'（x）=0有两个不同正根，即2x²-ax+1=0有两个不同正根，即可得到根的判别式大于0且两根之和大于0，求出a的范围得到必要性；然后证明充分性：由a的范围得到f'（x）=0有两个不等的正根，讨论导函数的正负即可得到函数既有极大值又有极小值．所以得到函数既有极大值又有极小值的a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）a=3时，f′（x）=-2x+3-

1

x

=-

2x2-3x+1

x

=-

(2x-1)(x-1)

x

，
函数f（x）在区间（

1

2

，2）仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，
故函数在[

1

2

，2]最大值是f（1）=2，
又f（2）-f（

1

2

）=（2-ln2）-（

5

4

+ln2）=

3

4

-2ln2＜0，故f（2）＜f（

1

2

），
故函数在[

1

2

，2]上的最小值为f（2）=2-ln2．
（Ⅱ）若f（x）既有极大值又有极小值，则必须f′（x）=0有两个不同正根x₁，x₂，即2x²-ax+1=0有两个不同正根．
故a应满足

△＞0 a 2 ＞0

⇒

a2-8＞0 a＞0

⇒a＞2

2

，
∴函数f（x）既有极大值又有极小值，实数a的取值范围是a＞2

2

．

点评：考查学生会利用导数求闭区间上函数的最值，会利用导数研究函数的单调性，会求函数在某点取极值的条件．