Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{c_n}满足：c_n=na_n，且数列{c_n}的前n项和为（n-1）S_n+2n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{S_n+2}是等比数列；
（Ⅱ）若点P_n的坐标为（1，b_n）（n∈N^*），函数g（x）=ln（1+x²）在x=tⁿ（

1

2

＜t＜2，且t≠1）处的切线始终与OP_n平行（O为原点）．求证：当

1

2

＜t＜2，且t≠1时，不等式

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜a_n-a_n -

1

2

对任意n∈N^*都成立．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定,等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1、等比数列的定义及已知即可证明；
（II）利用导数研究切线的斜率和斜率计算公式可得b_n=

2tn

1+t2n

．当1＜t＜2，

1

bn

=

1

2

(

1

tn

+tn)单调递增，可得

1

bn

＜

1

2

(

1

2n

+2n)．再利用等比数列的前n项和公式可得：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

2

(

1

t

+

1

t2

+…+

1

tn

)+

1

2

(t+t2+…+tn)＜

1

2

(1-

1

2n

)+2ⁿ-1=2n-

1

2

-

1

2n+1

．同理当

1

2

＜t＜1时，把上面的t换成

1

t

，同样得出结论．于是当

1

2

＜t＜2，且t≠1时，不等式

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2n-

1

2

-

1

2n+1

．由（I）可知：S_n+2=4×2^n-1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．可得a_n-a_n -

1

2

=2n-(2n)-

1

2

=2n-

1

( 2 )n

．要证明：当

1

2

＜t＜2，且t≠1时，不等式

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜a_n-a_n -

1

2

对任意n∈N^*都成立．只要证明：2n-

1

2

-

1

2n+1

＜2n-

1

( 2 )n

即可．

解答： 证明：（I）由题意可知：（n-1）S_n+2n=a₁+2a₂+…+na_n．
当n≥2时，（n-1）S_n+2n-[（n-2）S_n+2（n-1）]=na_n=n（S_n-S_n-1），
化为S_n+2=2（S_n-1+2），
∵n=1时，a₁=2，
∴数列{S_n+2}是等比数列，首项为4，公比q=2；
（II）由函数g（x）=ln（1+x²），g′（x）=

2x

1+x2

，
∴在x=tⁿ（

1

2

＜t＜2，且t≠1）处的切线斜率k=

2tn

1+t2n

．
OP_n的斜率k′=b_n，
∵函数g（x）=ln（1+x²）在x=tⁿ（

1

2

＜t＜2，且t≠1）处的切线始终与OP_n平行，
∴k=k′，
∴b_n=

2tn

1+t2n

．
当1＜t＜2，

1

bn

=

1

2

(

1

tn

+tn)单调递增，∴

1

bn

＜

1

2

(

1

2n

+2n)．
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

2

(

1

t

+

1

t2

+…+

1

tn

)+

1

2

(t+t2+…+tn)
=

1

2

•

1 t ( 1 tn -1)

1 t -1

+

1

2

•

t(tn-1)

t-1

＜

1

2

(1-

1

2n

)+2ⁿ-1=2n-

1

2

-

1

2n+1

．
同理当

1

2

＜t＜1时，把上面的t换成

1

t

，同样得出结论．
∴当

1

2

＜t＜2，且t≠1时，不等式

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2n-

1

2

-

1

2n+1

．
由（I）可知：S_n+2=4×2^n-1，∴S_n=2ⁿ⁺¹-2，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ，当n=1时也成立．
∴a_n-a_n -

1

2

=2n-(2n)-

1

2

=2n-

1

( 2 )n

．
要证明：当

1

2

＜t＜2，且t≠1时，不等式

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜a_n-a_n -

1

2

对任意n∈N^*都成立．
只要证明：2n-

1

2

-

1

2n+1

＜2n-

1

( 2 )n

即可．
化为

1

( 2 )n

＜

1

2

+

1

2n+1

．
当n=1时，左边=

2

2

，右边=

1

2

+

1

4

=

3

4

，∴左边＜右边；
当n=2时，左边=

1

2

，右边=

1

2

+

1

8

，∴左边＜右边；
当n≥3时，左边＜

1

2

＜右边，∴左边＜右边．
综上可得：当

1

2

＜t＜2，且t≠1时，不等式

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜a_n-a_n -

1

2

对任意n∈N^*都成立．

点评：本题考查了等比数列的定义通项公式及其前n项和公式、递推式的意义、利用导数研究函数的单调性、不等式的证明，考查了对称代换，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了放缩方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．