Question

已知

a

=（1，0），

b

=（1，1），根据条件，分别求实数λ的值．
（Ⅰ）（

a

+λ

b

）⊥

a

；
（Ⅱ）（

a

+λ

b

）∥（λ

a

+

b

）；
（Ⅲ）（

a

+λ

b

）与λ

a

的夹角是60°．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由条件利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则求得λ的值．
（Ⅱ）由条件利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则求得λ的值．
（Ⅲ）由条件利用两个向量坐标形式的运算法则、两个向量的夹角公式，求得λ的值．

解答： 解：∵已知

a

=（1，0），

b

=（1，1），
（Ⅰ）由 （

a

+λ

b

）⊥

a

，可得（

a

+λ

b

）•

a

=

a

2+λ•

a

•

b

=1+λ=0，∴λ=-1．
（Ⅱ）由（

a

+λ

b

）∥（λ

a

+

b

），（

a

+λ

b

）=（1+λ，λ），（λ

a

+

b

）=（λ+1，1），
可得 （1+λ）×1-（λ+1）λ=0，求得λ=±1．
（Ⅲ）由（

a

+λ

b

）与λ

a

的夹角是60°可得cos60°=

1

2

=

( a +λ b )•λ a

| a +λ b |•λ| a |

=

λ(1+λ)

(1+λ)2+λ2 •λ×1

=

1+λ

2λ2+2λ+1

，
求得λ=-

1

2

．

点评：本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量的夹角公式的应用，属于基础题．