Question

如图，已知底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，△ABC是边长为2的正三角形，AP=BP=

2

2

PC=

2

．
（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）求三棱锥D-PAC的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）取AB的中点E，连接PE，CE，证明PE⊥平面ABCD，（2）V_D-PAC=V_P-DAC=

1

3

•SDAC•PE．底面与高都很简单．

解答： 解：（1）证明：如图所示，取AB的中点E，连接PE，CE，
则PE是等腰三角形PAB的底边上的中线，则PE⊥AB．
∴PE=1，CE=

3

，PC=2．∴PE⊥CE．
又∵AB，CE?平面ABCD，且AB∩CE=E，
∴PE⊥平面ABCD，
∴平面PAB⊥平面ABCD；
（2）V_D-PAC=V_P-DAC
=

1

3

•SDAC•PE=

1

3

•

1

2

•2•2•sin60°•1
=

1

3

•

1

2

•2•2•

3

2

•1=

3

3

．

点评：本题考查了学生的作图能力，及转化的思想，属于中档题．