Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，cos

B

2

=

2 5

5

．
（Ⅰ）若b=3，求sinA的值；
（Ⅱ）若C为钝角，求边c的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用二倍角的余弦函数公式求出cosB的值，进而确定出sinB的值，再由a，b的值，利用正弦定理即可求出sinA的值；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosB，将a的值代入得到b与c的关系式，再根据C为钝角得到cosC小于0，列出不等式，将得出关系式代入求出c的范围即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵cos

B

2

=

2 5

5

，
∴cosB=2cos²

B

2

-1=

3

5

，sinB=

1-cos2B

=

4

5

，
∵a=2，b=3，sinB=

4

5

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinA=

asinB

b

=

8

15

；
（Ⅱ）∵a=2，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3

5

，
∴b²=c²-

12

5

c+4，
又C为钝角，cosC=

a2+c2-b2

2ac

＜0，即a²+b²-c²＜0，
整理得：8-

12

5

c＜0，即c＞

10

3

，
∴边c的取值范围是c＞

10

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．