Question

已知数列{a_n}满足：2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），它的前n项和为S_n，且a₃=10，S₆=72
（1）求通项a_n；
（2）若b_n=

1

2

a_n-30，求数列{b_n}的前n项和的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知{a_n}是等差数列，从而

a1+2d=10 6a1+15d=72

，由此能求出a_n=4n-2．
（2）由b_n=

1

2

a_n-30=2n-31，得{b_n}前15项为负值，由此能求出数列{b_n}的前n项和的最小值．

解答： （本题满分12分）
解：（1）∵2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），∴{a_n}是等差数列．
设{a_n}的首项为a₁，公差为d，由a₃=10，S₆=72，
得

a1+2d=10 6a1+15d=72

，∴

a1=2 d=4

，…（4分）
∴a_n=4n-2．…（6分）
（2）b_n=

1

2

a_n-30=2n-31，…（7分）
解得

2n-31≤0 2(n+1)-31≥0

，得

29

2

≤n≤

31

2

，
∵n∈N^*，∴n=15，…（9分）
∴{b_n}前15项为负值，∴S₁₅最小，
∵b₁=-29，d=2，
∴S₁₅=

15×(-29+2×15-31)

2

=-225．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．