Question

已知P是椭圆

x2

12

+

y2

4

=1上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，则k₁•k₂的值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（x₀，y₀），利用斜率公式及P在椭圆上求得k₁和k₂ 的解析式，从而计算出 k₁•k₂的值．

解答： 解：由题意得，b=2，a=2

3

，
设P（x₀，y₀）（y₀≠0），A（-2

3

，0），B（2

3

，0），
则

x02

12

+

y02

4

=1，即y₀²=4（1-

x02

12

），
则k₁=

y0

x0+2 3

，k₂=

y0

x0-2 3

，
即k₁•k₂=

y02

x02-12

=

4× 12-x02 12

x02-12

=-

1

3

，
∴k₁•k₂为定值-

1

3

．
故答案为：-

1

3

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，解答关键是利用直线的斜率求出表达式后化简得到定值．