【题目】(本小题满分14分)已知递增等差数列中的
是函数
的两个零点.数列
满足,点
在直线
上,其中
是数列
的前
项和.
(1)求数列和
的通项公式;
(2)令,求数列
的前n项和
.
【答案】(1),
;(2)
.
【解析】
试题分析:本题主要考查函数零点、等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、错位相减法等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问,先解出函数的两个零点,由于数列
是递增数列,排除一组解,再利用等差数列的通项公式求
,利用点在直线上,得到
与
的关系式,再利用
证出数列
是等比数列,最后利用等比数列的前n项和公式求
;第二问,利用第一问的结论,先求出
表达式,利用错位相减法求和,在此过程中要用到等比数列的前n项和公式计算.
试题解析:(1)∵,
是函数
的两个零点,则
,解得:
或
. ..2分
又等差数列递增,则
,∴
.4分
∵点在直线
上,则
。
当时,
,即
. .5分
当时,
,即
. .. 6分
∴数列为首项为
,公比为
的等比数列,即
. . 7分
(2)由(1)知:且
, ... 8分
则 ...9分
∴①
② . 10分
①-②得: . 12分
∴. 或写
. 14分
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【题目】如图,四棱柱中,
底面
,底面
是梯形,
,
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)在线段上是否存在一点
,使
平面
,若存在,请确定点
的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程
(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤,试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
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【题目】已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求a的取值范围
(3)若x∈[t,t+2],试求y=f(x)的最小值.
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【题目】关于函数f(x)=lg (x≠0,x∈R)有下列命题:
①函数y=f(x)的图象关于y轴对称;
②在区间(﹣∞,0)上,函数y=f(x)是减函数;
③函数f(x)的最小值为lg2;
④在区间(1,+∞)上,函数f(x)是增函数.
其中正确命题序号为 .
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【题目】设函数
(1)若不等式对
恒成立,求
的值;
(2)若在
内有两个极值点,求负数
的取值范围;
(3)已知,若对任意实数
,总存在实数
,使得
成立,求正实数
的取值集合.
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【题目】已知函数为偶函数.
(1)求实数的值;
(2)记集合,
,
,判断
与
的关系;
(3)当 (m>0,n>0)时,若函数f(x)的值域为[2-3m,2-3n],求m,n的值.
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【题目】设G为△ABC的重心,过G作直线l分别交线段AB,AC(不与端点重合)于P,Q.若 =λ
,
=μ
.
(1)求 的值;
(2)求λμ的取值范围.
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【题目】已知函数{an}:a1=t,n2Sn+1=n2(Sn+an)+an2 , n=1,2,….
(1)设{an}为等差数列,且前两项和S2=3,求t的值;
(2)若t= ,证明:
≤an<1.
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