【题目】（本小题满分14分）已知递增等差数列
中的
是函数
的两个零点．数列
满足，点
在直线
上，其中
是数列的前
项和．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令
，求数列
的前n项和
．
【答案】（1）
，
；（2）
.
【解析】
试题分析：本题主要考查函数零点、等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、错位相减法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，先解出函数
的两个零点，由于数列
是递增数列，排除一组解，再利用等差数列的通项公式求
，利用点在直线上，得到
与
的关系式，再利用
证出数列
是等比数列，最后利用等比数列的前n项和公式求
；第二问，利用第一问的结论，先求出
表达式，利用错位相减法求和，在此过程中要用到等比数列的前n项和公式计算.
试题解析：（1）∵
，
是函数
的两个零点，则
，解得：
或
. ..2分
又等差数列
递增，则
，∴ .4分
∵点
在直线
上，则
。
当
时，
，即
. .5分
当
时， 
，即
. .. 6分
∴数列
为首项为
，公比为
的等比数列，即. . 7分
（2）由（1）知：且， ... 8分
则
...9分
∴
①
② . 10分
①-②得：
. 12分
∴
. 或写 . 14分
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【题目】如图，四棱柱
中，
底面
，底面是梯形，
，
，
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）在线段
上是否存在一点
，使
平面，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
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【题目】下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程
（3）已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
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【题目】已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围
（3）若x∈[t，t+2]，试求y=f（x）的最小值．
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【题目】关于函数f（x）=lg 
（x≠0，x∈R）有下列命题：
①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；
②在区间（﹣∞，0）上，函数y=f（x）是减函数；
③函数f（x）的最小值为lg2；
④在区间（1，+∞）上，函数f（x）是增函数．
其中正确命题序号为 ．
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【题目】设函数
（1）若不等式
对
恒成立，求
的值；
（2）若
在
内有两个极值点，求负数
的取值范围；
（3）已知
，若对任意实数
，总存在实数
，使得
成立，求正实数
的取值集合．
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【题目】已知函数
为偶函数．
(1)求实数
的值；
(2)记集合
， 
， 
，判断
与
的关系；
(3)当
(m>0，n>0)时，若函数f(x)的值域为[2－3m,2－3n]，求m，n的值．
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【题目】设G为△ABC的重心，过G作直线l分别交线段AB，AC（不与端点重合）于P，Q．若 
=λ 
， 
=μ 
． 
（1）求 
的值；
（2）求λμ的取值范围．
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【题目】已知函数{an}：a1=t，n2Sn+1=n2（Sn+an）+an2 ， n=1，2，…．
（1）设{an}为等差数列，且前两项和S2=3，求t的值；
（2）若t= 
，证明： 
≤an＜1．
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