Question

【题目】设G为△ABC的重心，过G作直线l分别交线段AB，AC（不与端点重合）于P，Q．若 =λ ， =μ ．

（1）求 的值；
（2）求λμ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接AG并延长，交BC于M，则M是BC的中点，设 ， ，

，

∴ ．

∵P，G，Q三点共线，故存在实数t，使 ，

∴ ，

∴ ；

（2）解：由（1）得μ= ，

∵λ，μ∈（0，1），∴ ，解得 ＜λ＜1．∴1＜ ．

∴λμ= = = ．

∴当 时，λμ取得最小值 ，当 =1或2时，λμ取得最大值 ．

∴λμ的取值范围是[ ， ）．

【解析】（1）用 ， 表示出 ， ，根据P，Q，G三点共线得出λ，μ的关系；（2）用λ表示出μ，令λ，μ∈（0，1）得出λ的范围，则λμ可表示为关于λ的函数，求出该函数的最值即可．