Question

【题目】已知函数f（x）=2x，g（x）=-x2+2x+b．

（1）若f（x）++1≥0对任意的x∈[1，3]恒成立，求m的取值范围；

（2）若x1，x2∈[1，3]，对任意的x1，总存在x2，使得f（x1）=g（x2），求b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）[-6，-∞）； （2）见解析.

【解析】

（1）根据h（x）＝f（x）1，结合勾函数的性质对任意的x∈[1，3]恒成立，即可求解m的取值范围；

（2）根据对任意的x1，总存在x2，使得f（x1）＝g（x2），可得f（x）的值域是g（x）的值域的子集，即可求解b的范围；

（1）函数f（x）=2x，令h（x）=f（x）++1=；

①当m=0时，可得h（x）=2x+1在x∈[1，3]恒成立；

②当m＜0时，可知f（x）=2x是递增函数，y=在x∈[1，3]也是递增函数，

∴h（x）在x∈[1，3]是递增函数，此时h（x）min=h（1）=≥0，

可得：-6≤m＜0；

③当m＞0时，，所以函数h（x）=，满足题意.

综上所述：f（x）++1≥0对任意的x∈[1，3]恒成立，可得m的取值范围是[-6，-∞）；

（2）由函数f（x）=2x，x∈[1，3]，

可得：2≤f（x）≤8；

由g（x）=-x2+2x+b．其对称x=1，开口向下．

∵x∈[1，3]，

∴g（x）在x∈[1，3]上单调递减．

g（x）max=g（1）=1+b；

g（x）min=g（3）=-3+b；

∵对任意的x1，总存在x2，使得f（x1）=g（x2），

∴f（x）的值域是g（x）的值域的子集；

即，

解得：无解．

故x1，x2∈[1，3]，对任意的x1，总存在x2，使得f（x1）=g（x2），此是b的取值范围是空集．