【题目】已知函数f(x)=2x,g(x)=-x2+2x+b.
(1)若f(x)++1≥0对任意的x∈[1,3]恒成立,求m的取值范围;
(2)若x1,x2∈[1,3],对任意的x1,总存在x2,使得f(x1)=g(x2),求b的取值范围.
【答案】(1)[-6,-∞); (2)见解析.
【解析】
(1)根据h(x)=f(x)1,结合勾函数的性质对任意的x∈[1,3]恒成立,即可求解m的取值范围;
(2)根据对任意的x1,总存在x2,使得f(x1)=g(x2),可得f(x)的值域是g(x)的值域的子集,即可求解b的范围;
(1)函数f(x)=2x,令h(x)=f(x)++1=
;
①当m=0时,可得h(x)=2x+1在x∈[1,3]恒成立;
②当m<0时,可知f(x)=2x是递增函数,y=在x∈[1,3]也是递增函数,
∴h(x)在x∈[1,3]是递增函数,此时h(x)min=h(1)=≥0,
可得:-6≤m<0;
③当m>0时,,所以函数h(x)=
,满足题意.
综上所述:f(x)++1≥0对任意的x∈[1,3]恒成立,可得m的取值范围是[-6,-∞);
(2)由函数f(x)=2x,x∈[1,3],
可得:2≤f(x)≤8;
由g(x)=-x2+2x+b.其对称x=1,开口向下.
∵x∈[1,3],
∴g(x)在x∈[1,3]上单调递减.
g(x)max=g(1)=1+b;
g(x)min=g(3)=-3+b;
∵对任意的x1,总存在x2,使得f(x1)=g(x2),
∴f(x)的值域是g(x)的值域的子集;
即,
解得:无解.
故x1,x2∈[1,3],对任意的x1,总存在x2,使得f(x1)=g(x2),此是b的取值范围是空集.
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【题目】设S是实数集R的非空子集,若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列命题:①集合S={a+b|a,b为整数}为封闭集;②若S为封闭集,则一定有0∈S;③封闭集一定是无限集;④若S为封闭集,则满足STR的任意集合T也是封闭集.其中真命题是________.(写出所有真命题的序号)
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【题目】如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上.
(Ⅰ)求异面直线D1E与A1D所成的角;
(Ⅱ)若平面D1EC与平面ECD的夹角大小为45°,求点B到平面D1EC的距离.
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【题目】如图,△ABC内接于直径为BC的圆O,过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P,∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点D、E,若PA=2PB=10.
(1)求证:AC=2AB;
(2)求ADDE的值.
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【题目】在篮球比赛中,如果某位球员的得分,篮板,助攻,抢断,盖帽中有两个值达到或
以上,就称该球员拿到了两双.下表是某球员在最近五场比赛中的数据统计:
场次 | 得分 | 篮板 | 助攻 | 抢断 | 盖帽 |
()从上述比赛中任选
场,求该球员拿到“两双”的概率.
()从上述比赛中任选
场,设该球员拿到“两双”的次数为
,求
的分布列及数学期望.
()假设各场比赛互相独立,将该球员在上述比赛中获得“两双”的频率作为概率,设其在接下来的三场比赛中获得“两双”的次数为
,试比赛
与
的大小关系(只需写出结论).
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