Question

12．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知侧棱CC₁⊥底面ABC，M为BC的中点，$AC=AB=3，BC=2，C{C_1}=\sqrt{2}$．
（1）证明：B₁C⊥平面AMC₁；
（2）求点A₁到平面AMC₁的距离．

Answer 1

分析 （1）证明CC₁⊥AM，经过计算推出MC₁⊥B₁C，结合AM⊥B₁C，即可证明B₁C⊥平面AMC₁．
（2）设点A₁到平面AMC₁的距离为h，利用${V_{{A_1}-AMC}}={V_{{C_1}-AMC}}$，推出$\frac{1}{3}{S_{△AM{C_1}}}•h=\frac{1}{3}{S_{△AMC}}•C{C_1}$，然后求解点A₁到平面AMC₁的距离．

解答 解：（1）证明：在△ABC中，AC=AB，M为BC的中点，
故AM⊥BC，又侧棱CC₁⊥底面ABC，所以CC₁⊥AM，
又BC∩CC₁=C，所以AM⊥平面BCC₁B₁，
则AM⊥B₁C，在Rt△BCB₁中，$tan∠{B_1}CB=\frac{{{B_1}B}}{BC}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；在Rt△MCC₁中，$tan∠M{C_1}C=\frac{MC}{{{C_1}C}}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以∠B₁CB=∠MC₁C，
又∠B₁CB+∠C₁CB₁=90°，所以∠MC₁C+∠C₁CB₁=90°，
即MC₁⊥B₁C，又AM⊥B₁C，AM∩MC₁=M，所以B₁C⊥平面AMC₁．

（2）设点A₁到平面AMC₁的距离为h，由于${V_{{A_1}-AM{C_1}}}={V_{M-{A_1}A{C_1}}}={V_{{C_1}-AMC}}$，
∴${V_{{A_1}-AMC}}={V_{{C_1}-AMC}}$，即$\frac{1}{3}{S_{△AM{C_1}}}•h=\frac{1}{3}{S_{△AMC}}•C{C_1}$，于是$h=\frac{{{S_{△AMC}}•C{C_1}}}{{{S_{△AM{C_1}}}}}=\frac{{\frac{1}{2}•AM•MC•C{C_1}}}{{\frac{1}{2}•AM•{C_1}M}}=\frac{{MC•C{C_1}}}{{{C_1}M}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
所以点A₁到平面AMC₁的距离为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，等体积法的应用，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．