Question

17．设函数$f（x）=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}$．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）当实数x∈[0，1]，证明：$f（x）≤2-\frac{1}{4}{x^2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知条件可以推知$f'（x）=\frac{{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}}{{2\sqrt{1-{x^2}}}}$，结合该函数的单调性求解；
（2）把证明不等式成立问题转化为判断函数单调性问题解决，利用（1）的结论即可得出结论．

解答 解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域是[-1，1]，
∵$f'（x）=\frac{{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}}{{2\sqrt{1-{x^2}}}}$，当f'（x）≥0时，解得x≤0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（-1，0）上单调递增，
∴$f{（x）_{min}}=f（1）=f（-1）=\sqrt{2}$，f（x）_max=f（0）=2，
∴函数f（x）的值域为$[\sqrt{2}，2]$．
（2）设$h（x）=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+\frac{1}{4}{x^2}-2$，x∈[0，1]，h（0）=0，
∵$h'（x）=-\frac{1}{2}{（1-x）^{-\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2}{（1+x）^{-\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2}x$，=$\frac{1}{2}x[1-\frac{2}{{\sqrt{1-{x^2}}（\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}）}}]$，
∵$\sqrt{1-{x^2}}（\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}）$=$\sqrt{1-{x^2}}•\sqrt{2+2\sqrt{1-{x^2}}}≤2$，
∴h'（x）≤0．
∴h（x）在（0，1）上单调递减，又h（0）=0，
∴$f（x）≤2-\frac{1}{4}{x^2}$．

点评 本题主要考查函数单调性的判断及证明不等式恒成立问题，考查利用导数研究函数的性质，逻辑性强，属难题．