Question

7．已知函数f（x）=lnx-ax．
（1）当$a=\frac{2}{e}$时，求函数f（x）在x=e处的切线方程；
（2）若关于x的不等式lnx-ax＞0的解集有唯一整数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出斜率以及切点坐标，利用点斜式求解切线方程即可．
（2）求出导函数，通过导函数的符号判断函数的单调性，求出函数的最值推出a的范围即可．

解答 解：（1）$a=\frac{2}{e}$时，$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{2}{e}$，$f'（e）=-\frac{1}{e}$，f（e）=-1
∴f（x）在x=e处的切线方程为$y+1=-\frac{1}{e}（{x-e}）$，即$\frac{1}{e}x+y=0$，
（2）由lnx-ax＞0得$a＜\frac{lnx}{x}$，令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，g'（x）=0时，x=e，
x∈（0，e）时g'（x）＞0，g（x）单调递增，
x∈（e，+∞）时g'（x）＜0，g（x）单调递减
∴$g{（x）_{max}}=g（e）=\frac{1}{e}$，
∴x∈（1，e）时，g（x）单调递增，x∈（e，4）时，g（x）单调递减，
又∵$g（2）=g（4）=\frac{1}{2}ln2$，$g（3）=\frac{1}{3}ln3$，
∴要使不等式lnx-ax＞0的解集有唯一整数，实数a应满足$\frac{1}{2}ln2≤a＜\frac{1}{3}ln3$，
∴a的取值范围是$[{\frac{1}{2}ln2，\frac{1}{3}ln3}）$．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的切线方程的求法，函数的最值以及函数的单调性的关系，考查分析问题解决问题的能力．