Question

18．已知椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点为F（3，0），上、下顶点分别为A，B，直线AF交Γ于另一点M，若直线BM交x轴于点N（12，0），则Γ的离心率是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求得AM和BN的方程，联立即可求得M坐标，代入椭圆方程，即可求得a，即可求得Γ的离心率．

解答 解：由题意A（0，b），B（0，-b），
则直线AM及BN的方程，$\frac{x}{3}$+$\frac{y}{b}$=1，$\frac{x}{12}$-$\frac{y}{b}$=1，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{3}+\frac{y}{b}=1}\\{\frac{x}{12}-\frac{y}{b}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{24}{5}}\\{y=-\frac{3b}{5}}\end{array}\right.$，则M（$\frac{24}{5}$，-$\frac{3b}{5}$），
代入椭圆方程：$\frac{2{4}^{2}}{25{a}^{2}}+\frac{9}{25}=1$，解得：a=6，
由题意的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，直线的两点式，考查计算能力，属于中档题．