Question

9．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面A₁B₁C₁，且A₁C₁⊥B₁C₁，A₁C₁=3$\sqrt{2}$，B₁C₁=CC₁=2，P是BC₁上一动点，则CP+PA₁的最小值为（　　）

• A． 5$\sqrt{2}$
• B． 5
• C． $\sqrt{10}$
• D． $\sqrt{34}$

Answer 1

分析 连A₁B，沿BC₁将△CBC₁展开与△A₁BC₁在同一个平面内，不难看出CP+PA₁的最小值是A₁C的连线．（在BC₁上取一点与A₁C构成三角形，因为三角形两边和大于第三边）由余弦定理即可求解．

解答 解：连A₁B，沿BC₁将△CBC₁展开与△A₁BC₁在同一个平面内，如图所示，
连A₁C，则A₁C的长度就是所求的最小值．
BC₁=2$\sqrt{2}$，A₁C₁=3$\sqrt{2}$，A₁B=$\sqrt{26}$，通过计算可得∠A₁C₁P=90°，
又∠BC₁C=45°，
∴∠A₁C₁C=135°，
由余弦定理可求得A₁C=$\sqrt{18+4-2×3\sqrt{2}×2×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）}$=$\sqrt{34}$，
故选：D．

点评 本题考查棱柱的结构特征，余弦定理的应用，是中档题．