Question

1．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b²+c²-bc=1，则△ABC面积的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{{\sqrt{3}}}{6}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}]$
• B． $（\frac{{\sqrt{3}}}{6}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}）$
• C． $（\frac{{\sqrt{3}}}{12}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}）$
• D． $（\frac{{\sqrt{3}}}{12}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}]$

Answer 1

分析 由已知及余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，可求sinA，利用正弦定理可求b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{6}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{12}$，由已知可求B的范围，进而可求范围$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，利用正弦函数的图象和性质 即可计算得解．

解答 解：∵a=1，b²+c²-bc=1，
∴b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，可得：b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-B），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinB（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）=$\frac{\sqrt{3}}{6}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{12}$，
∵B为锐角，可得：$\frac{π}{6}$$＜B＜\frac{π}{2}$，可得：$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴sin（2B-$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，可得：S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{6}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{12}$∈（$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]．
故选：A．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．