Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x-z，1），$\overrightarrow{b}$=（2，y+z），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，若实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y-x≥0}\\{x+y-7≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，则z的最大值为（　　）

• A． $\frac{21}{2}$
• B． 7
• C． 14
• D． 21

Answer 1

分析 由向量垂直的坐标运算可得目标函数，再由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（x-z，1），$\overrightarrow{b}$=（2，y+z），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴2×（x-z）+1×（y+z）=2x-2z+y+z=0，
即z=2x+y．
由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y-x≥0}\\{x+y-7≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{y-x=0}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{7}{2}，\frac{7}{2}$），
化目标函数z=2x+y为y=-2x+z，
由图可知，当直线y=-2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为$2×\frac{7}{2}+\frac{7}{2}=\frac{21}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．