Question

2．已知函数$f（x）=asinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$的一条对称轴方程为$x=\frac{π}{6}$，则函数f（x）的单调递增区间为（　　）

• A． $[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]$，（k∈Z）
• B． $[{kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}}]$，（k∈Z）
• C． $[{kπ-\frac{7π}{12}，kπ-\frac{π}{12}}]$，（k∈Z）
• D． $[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]$，（k∈Z）

Answer 1

分析 利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，根据对称轴方程为$x=\frac{π}{6}$求出a的值，可得f（x）的解析式，即可求解f（x）的单调递增区间．

解答 解：函数$f（x）=asinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$．
化简可得：f（x）=$\frac{a}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x．即f（x）=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+1}{4}}$sin（2x+φ），其中tanφ=$\frac{1}{a}$．
∵有一条对称轴方程为$x=\frac{π}{6}$，
则$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．
∴φ=kπ$+\frac{π}{6}$．
那么tan（kπ$+\frac{π}{6}$）=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$
∴a=$\sqrt{3}$．
则f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$．
∴函数f（x）的单调递增区间为[$kπ-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
故选：A．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于中档题．