Question

8．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），将向量$\overrightarrow{OP}$绕原点O按逆时针方向旋转x弧度得到向量$\overrightarrow{OQ}$．
（1）若x=$\frac{π}{4}$，求点Q坐标；
（2）已知函数f（x）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$，且f（α）•f（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$，若α∈（0，π），求α的值．

Answer 1

分析 （1）化P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）为P（cos$\frac{π}{6}$，sin$\frac{π}{6}$），然后利用两角和的正弦与余弦求得Q的坐标；
（2）由$\overrightarrow{OQ}=（cos（\frac{π}{6}+x），sin（\frac{π}{6}+x））$，$\overrightarrow{OP}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$，得f（x）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=cosx，再由f（α）•f（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$即可求得α的值．

解答 解：（1）由P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），得P（cos$\frac{π}{6}$，sin$\frac{π}{6}$），
cos（$\frac{π}{6}+\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{6}$cos$\frac{π}{4}$-sin$\frac{π}{6}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
sin（$\frac{π}{6}+\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{6}$cos$\frac{π}{4}$+cos$\frac{π}{6}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
∴点Q的坐标为（$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$）；
（2）由$\overrightarrow{OQ}=（cos（\frac{π}{6}+x），sin（\frac{π}{6}+x））$，$\overrightarrow{OP}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$得
f（x）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}cos（\frac{π}{6}+x）+\frac{1}{2}sin（\frac{π}{6}+x）=cos[\frac{π}{6}-（\frac{π}{6}+x）]=cosx$．
∴f（α）•f（α-$\frac{π}{3}$）=cosαcos（$α-\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}co{s}^{2}α+\frac{\sqrt{3}}{2}sinαcosα$
=$\frac{1+cos2α}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}sin2α=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}sin（2α+\frac{π}{6}）$=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$，
得$sin（2α+\frac{π}{6}）=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2$α+\frac{π}{6}$=$2kπ+\frac{π}{3}$（k∈Z）或$2α+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z$．
∵α∈（0，π），∴$α=\frac{π}{4}$或$\frac{π}{12}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查三角函数中的恒等变换应用，考查计算能力，是中档题．