Question

已知三角形ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b，求：
（1）

a

c

的值；
（2）tanB+tanC的值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，把c=3b代入化简即可得出．
（2）不妨取b=1，c=3，a=

7

．由余弦定理可得cosB=

a2+c2-b2

2ac

，同理可得cosc．于是tanB+tanC=

sinB

cosB

+

sinC

cosC

=

sinBcosC+cosBsinC

cosBcosC

=

sin(B+C)

cosBcosC

，即可得出．

解答： 解：（1）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴a²=(

c

3

)2+c2-2×

c

3

×ccos60°，
化为

a

c

=

7

3

．
（2）不妨取b=1，c=3，a=

7

．
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

7+9-1

6 7

=

5 7

14

，
同理可得cosc=-

7

14

．
∴tanB+tanC=

sinB

cosB

+

sinC

cosC

=

sinBcosC+cosBsinC

cosBcosC

=

sin(B+C)

cosBcosC

=

sin60°

5 7 14 ×(- 7 14 )

=-

14 3

5

．

点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．