Question

已知blnb+b-2=0，求b．

Answer 1

考点：函数的零点

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：求导数得出f′（x）=lnx+2，判断出f（x）=xlnx+x-2，在（0，

1

e2

）单调递减，（

1

e2

，+∞）单调递增．，=

1

e2

时，f（x）极小值=f（

1

e2

）=-

2

e2

-4＜0，根据根的范围问题求解得出（x）=xlnx+x-2有一个零点x₀，x₀∈（1，2），即可得出b 范围．

解答： 解：∵f（x）=xlnx+x-2，
∴f′（x）=lnx+2，
∵f′（x）=lnx+2=0，x=

1

e2

，
f′（x）=lnx+2＜0，0＜x＜

1

e2

f′（x）=lnx+2＞0，x＞

1

e2

，
∴f（x）=xlnx+x-2，在（0，

1

e2

）单调递减，（

1

e2

，+∞）单调递增．
x=

1

e2

时，f（x）极小值=f（

1

e2

）=-

2

e2

-4＜0，
当x→0，f（x）→-2，
f（1）=-1＜0，
f（2）=2ln2＞0，
∴f（x）=xlnx+x-2有一个零点x₀，x₀∈（1，2）
∴方程blnb+b-2=0，有1个根，b∈（1，2）

点评：本题综合考查了函数的性质，运用导数与单调性的关系，判断方程的根，函数的零点的问题，属于中档题．