Question

已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2a，AB=a，F为CD的中点．
（1）求证：AF⊥平面CDE；
（2）求异面直线AC，BE所成角的余弦值；
（3）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得DE⊥AF．AF⊥CD，由此能证明AF⊥平面CDE．
（2）由已知得DE∥AB，取DE中点M，连结AM、CM，则四边形AMEB为平行四边形，AM∥BE，则∠CAM为AC与BE所成的角，由此能求出异面直线AC、BE所成的角的余弦值．
（3）取CE的中点N，连结BN、FN，四边形AFNB为平行四边形，由此能求出多面体ABCDE的体积．

解答： （1）证明：∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又∵AC=AD，F为CD中点，
∴AF⊥CD，∴AF⊥平面CDE．
（2）解：

DE⊥平面ACD AB⊥平面ACD

⇒DE∥AB，
取DE中点M，连结AM、CM，则四边形AMEB为平行四边形．
AM∥BE，则∠CAM为AC与BE所成的角，
在△ACM中，AC=2a，

AM= AD2+DM2 = 4a2+a2 = 5 a， CM= CD2+DM2 = 4a2+a2 = 5 a， 由余弦定理得：cos∠CAM= (2a)2+( 5 a)2-( 5 a)2 2×2a× 5 a = 5 5 ，

∴异面直线AC、BE所成的角的余弦值为

5

5

．
（3）解：取CE的中点N，连结BN、FN，则FN

∥

.

1

2

DE，
又AB

∥

.

1

2

DE，则四边形AFNB为平行四边形．
∴AF∥BN，又由（1）知，AF⊥面CDE，∴BN⊥面CDE．

VABCDE=VB-ACD+VB-CDE= 1 3 AB• 3 4 •(2a)2+ 1 3 • 1 2 •2a•2a•BN = 1 3 a• 3 a2+ 1 3 •2a2• 3 a= 3 a3.

点评：本题考查AF⊥平面CDE的证明，考查异面直线AC，BE所成角的余弦值的求法，考查多面体ABCDE的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．