Question

在以O为直角顶点的直角三角形OAB的外侧作两个正方形OAPQ和OBRS，设QS的中点为M（本题所有的点均在同一个平面内，如图所示），取直角的两边为坐标轴，试证明：
（1）OM⊥AB；
（2）三条直线OM，BP，AR通过同一点．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系,直线的斜率,三点共线

专题：直线与圆

分析：（1）由坐标系可设A（a，0），B（0，b），进而肯定的S（-b，0），Q（0，-a），由中点坐标公式可得M坐标，可得AB和OM的斜率，可判垂直关系；
（2）分别可得三直线的方程，联立其中两个解交点，验证交点也在第三直线即可．

解答： 解：（1）以O为坐标原点，OA、OB分别为x、y轴建立平面直角坐标系，
设A（a，0），B（0，b），则S（-b，0），Q（0，-a），
由中点坐标公式可得M（-

b

2

，-

a

2

），
∴AB的斜率为

b-0

0-a

=-

b

a

，OM的斜率

- a 2

- b 2

=

a

b

，
∵-

b

a

•

a

b

=-1，∴OM⊥AB；
（2）可得P（a，-a），R（-b，b），
∴OM的方程为：y=

a

b

x，①
BP的斜率为

b+a

0-a

=-

a+b

a

，故方程为y=-

a+b

a

x+b，②
联立①②可解得x=

a2+ab+b2

ab2

，y=

a2+ab+b2

b3

，
同理可得直线AR的方程为y=-

b

a+b

（x-a），③
经验证点（=

a2+ab+b2

ab2

，

a2+ab+b2

b3

）适合方程③
∴三条直线OM，BP，AR通过同一点

点评：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及直线的交点，属中档题．