Question

18．如图，在四棱锥A-EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．
（1）求证：AO⊥BE．
（2）求二面角C-AE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由△AEF为等边三角形，O为EF的中点，可得AO⊥EF，再由面面垂直的性质可得AO⊥平面EFCB，则AO⊥BE；
（2）取BC的中点G，连接OG，可得OG⊥EF，由（1）OA⊥OG，建立如图的空间坐标系，分别求出平面EAC与平面EAB的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二面角C-AE-B的余弦值．

解答 （1）证明：∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，
∴AO⊥EF，
∵平面AEF⊥平面EFCB，AO?平面AEF，
∴AO⊥平面EFCB
∴AO⊥BE；
（2）解：取BC的中点G，连接OG，
∵EFCB是等腰梯形，
∴OG⊥EF，
由（1）知AO⊥平面EFCB，
∵OG?平面EFCB，∴OA⊥OG，
建立如图的空间坐标系，
则OE=1，BG=2，GH=1，BH=1，EH=BHtan60°=$\sqrt{3}$，
则E（1，0，0），A（0，0，$\sqrt{3}$），B（2，$\sqrt{3}$，0），C（-2，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{EA}=（-1，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{EC}=（-3，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{EB}=（1，\sqrt{3}，0）$．
设平面EAC的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EA}=-{x}_{1}+\sqrt{3}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=-3{x}_{1}+\sqrt{3}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，令z₁=1，则$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，3，1）$；
设平面EAB的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=-{x}_{2}+\sqrt{3}{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}={x}_{2}+\sqrt{3}{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，令${x}_{2}=\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，-1，1）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{13}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{65}}{65}$．
∴二面角C-AE-B的余弦值为$\frac{\sqrt{65}}{65}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．