Question

6．在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，${a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}}}{{{a_{n-1}}+2}}（{n∈{N^*}}）$．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{a_n}的通项a_n，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，a₁=1，由a_n=$\frac{2{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$，代入计算可得a₂，a₃，a₄； 
（2）利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）当n≥2时，a₁=1，由a_n=$\frac{2{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$得
∴a₂=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{2}{5}$，
（2）猜想：a_n=$\frac{2}{n+1}$，
①当n=1时，猜想成立，
②假设当n=k时，猜想成立，即a_k=$\frac{2}{k+1}$，
那么当n=k+1时，a_k+1=$\frac{2{a}_{k}}{{a}_{k}+2}$=$\frac{2•\frac{2}{k+1}}{\frac{2}{k+1}+2}$=$\frac{2}{k+2}$，
∴当n=k+1时猜想成立，
由①②可得，对任意n∈N*，a_n=$\frac{2}{n+1}$都成立．

点评 本题考查数列递推式，以及数学归纳法，属于中档题．