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如图,在长方体中,,的中点,的中点.

(I)求证:平面;
(II)求证:平面;
(III)若二面角的大小为,求的长.

(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(III).

解析试题分析:(Ⅰ)证明平面,就是证明平面,只需证明与平面内的两条直线垂直,即可证明平面;(Ⅱ)证明平面,只需证明与平面的一条直线平行,这里采用证明平行四边形的目的来证明与平面的一条直线平行;(III)借助空间向量法计算当的长.
试题解析:(I)证明:在长方体中,
因为平面,所以.
因为,所以四边形为正方形,因此,
,所以平面.
,且,
所以四边形为平行四边形.
上,所以平面.
4分
(II)取的中点为,连接.
因为的中点,所以,
因为的中点,所以,
,且,
所以,且,
因此四边形为平行四边形,
所以,而平面,[来源:Z,xx,k.Com]
所以平面.
9分
(III)如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,设,

,
.
由(I)可知平面,所以是平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为,则,
所以
,则,所以.
所成的角为

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