Question

对于函数f（x）=

1

2

（sinx+cosx）-

1

2

|cos-sinx|，下列说法正确的是

 

（1）当且仅当2kπ＜x＜2kπ+

π

2

（k∈Z）时，f（x）＞0；
（2）当且仅当x=2kπ+

π

2

（k∈Z）时，该函数取得最大值；
（3）该函数的值域是[-1，1]；
（4）该函数是以π为最小正周期的周期函数．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：通过分段后，易得f（x）=

cosx，x∈[2kπ+ π 4 ，2kπ+ 5π 4 ] sinx，x∈[2kπ- 3π 4 ，2kπ+ π 4 ]

，作出其图象，对四个选项逐一分析即可．

解答： 解：当sinx≥cosx时，f（x）=

1

2

（sinx+cosx）+

1

2

（cos-sinx）=cosx；
当sinx＜cosx时，f（x）=

1

2

（sinx+cosx）-

1

2

（cos-sinx）=sinx；
即f（x）=

cosx，(sinx≥cosx) sinx，(cosx≥sinx)

=

cosx，x∈[2kπ+ π 4 ，2kπ+ 5π 4 ] sinx，x∈[2kπ- 3π 4 ，2kπ+ π 4 ]

，
作图如下：

由图可知，彩色区域为一个周期内（从-

3π

4

～

5π

4

）的图象，
当且仅当2kπ＜x＜2kπ+

π

2

（k∈Z）时，f（x）＞0，即（1）正确；
当且仅当x=2kπ+

π

4

（k∈Z）时，该函数取得最大值，故B错误；
该函数的值域是[-1，

2

2

]，故（3）错误；
该函数是以2π为最小正周期的周期函数，故（4）错误．
综上所述，（1）正确．
故答案为：（1）．

点评：本题考查正弦函数与余弦函数的图象与性质，作图是关键，也是难点，考查分析与运算能力，属于中档题．