Question

根据下列条件求椭圆的标准方程：
（1）经过两点A（0，2）和B（

1

2

，

3

）．
（2）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为

4

3

5

和

2

3

5

，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设经过两点A（0，2），B（

1

2

，

3

）的椭圆标准方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），利用待定系数法能求出椭圆方程．
（2）设椭圆的标准方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1或

y2

a2

+

x2

b2

=1，由题意知2a=|PF₁|+|PF₂|=2

5

，由此利用已知条件能求出椭圆的标准方程．

解答： 解：（1）设经过两点A（0，2），B（

1

2

，

3

）．
的椭圆标准方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），
代入A、B得，

4n=1 1 4 m+3n=1

，解得m=1，n=

1

4

，
∴所求椭圆方程为x²+

y2

4

=1．
（2）设椭圆的标准方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1或

y2

a2

+

x2

b2

=1，
则由题意知2a=|PF₁|+|PF₂|=2

5

，∴a=

5

．
在方程

x2

a2

+

y2

b2

=1中令x=±c，得|y|=

b2

a

，
在方程

y2

a2

+

x2

b2

=1中令y=±c，得|x|=

b2

a

b2

a

依题意并结合图形知

b2

a

=

2

3

5

．∴b²=

10

3

．
∴椭圆的标准方程为

x2

5

+

3y2

10

=1或

y2

5

+

3x2

10

=1．

点评：本题考查椭圆标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆简单性质的合理运用．